Racine et factorisation d'un polynôme (3) - Corrigé

 Énoncé

On note \(P\) le polynôme défini sur \(\mathbb{C}\) par :  \(P(z) = z^4 + 3z^2 + 26z - 30\) .

1. Montrer que \(1\) est racine de \(P\) .

2. En déduire une factorisation de \(P\) .

Solution

1. \(P(1)=1^4 + 3 \times 1^2 + 26 \times 1 - 30=0\) .
2. \(P\)  est de degré \(4\)  et \(1\) est racine de \(P\) . Soit donc \(a , b , c\) et \(d\) des réels tels que, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \(P(z) = \left( z-1 \right) (az^3+bz^2+cz+d)= \left( z -1 \right)(az^3+bz^2+cz+d)\) .
On a, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \(\left( z -1 \right)(az^3+bz^2+cz+d) = az^4+ bz^3 + cz^2 +dz +-az^3 -bz^2 -cz- d =a z^4 + \left( b -a \right) z^3+ \left( c -b \right) z^2+ \left( d -c \right) z-d\)
Donc pour que, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \(P(z) = \left( z -1 \right)(az^3+bz^2+cz+d)\) , il suffit (et il faut) que :
\(\begin{cases}a = 1 \\b -a = 0 \\c -b = 3 \\d -c = 26 \\-d = -30\end{cases}\)
Or,
\(\begin{cases}a = 1 \\b -a = 0 \\c -b = 3 \\d -c = 26 \\-d = -30\end{cases}\iff\begin{cases}a = 1 \\b = 1 \\c = 4 \\d = 30\end{cases}\) .

On a donc \(P(z)= (z-1)(z^3 + z^2 + 4z + 30)\) .